Что даёт вторая (3, 4. ) производная? Скорость изменения первой производной (это ж по иде тоже функция) ? А зачем ? )

Answer 1

Если очень коротко, то есть сложные нелинейные задачи, для которых аналитическое решение получить тяжело или невозможно вобще. Сответственно, приходится решать численно. И чем больше производных используется для численного решения, тем оно точне.

Как-то на заре туманной юности (на втором курсе института, если склероз не изменяет) у меня была на эту тему лабораторная работа по физике. Есть механический эксперимент, в котором постоянно происходит переход от трения покоя к трению скольжения и обратно. Математическая модель этого эксперимента для простоты ограничена двумя производными. Сответственно, модель предсказывает синусоидальные колебания системы с некоторой частотой и амплитудой. На практике колебания есть, но не синусоидальные, а частота и амплитуда отличаются от полученных в модели на 40-60%. Чтобы модель лучше согласовывалась с экспериментом, нужно вводить в не производные высших порядков.

Answer 2

Если взять для примера движение материальной точки, то первая - скорость, вторая - ускорение, третья - скорость изменения ускорения (движение же не обязано быть равноускоренным) и т. д.
Если брать исследование произвольной функции, то первая дает нам экстремумы, вторая - вид функции (выгнутая/вогнутая) , третья и дальше уже не слишком нужны.