Что такое Компактность простыми словами (топология)

Question

"из всякого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие" - правильно ли я понимаю: всякое исчисляемое число пустой тары определенно уместится в некую авоську? или определение боле сложное и я его неправильно понимаю?
то есть компактность есть исчисляемость. ну типа () неисчисляемое, а [] исчисляемое. так?

Answer 1

В евклидовом пространстве множество компактно = оно замкнуто и ограничено.

В полном метрическом - замкнуто и вполне ограничено.
Вполне ограниченность означает, что для любого eps 0 множество можно покрыть конечным множеством шаров радиуса eps. Если хотите, могу даже простенький пример ограниченного множества построить, которое не является вполне ограниченным - например, единичный шарик в l2. Это вполне реально "расшифровать" даже для школьника.

Answer 2

Неправильно.
Давай я тебе покажу, что полуинтервал (0, 1] не компактен.

Покроем его последовательностью открытых множеств,
M_n = (1/n, 2) .

Из не нельзя выделить конечное множество элементов, покрывающих (0, 1) целиком - т. к. минимальное из конечного множества положительных чисел вида 1/n строго положительно.