Зачем нужны комплексные числа?

Answer 1

С ними математика получает мощнейшие инструменты. Без комплексных чисел невозможны такие е разделы, как дифференциальные уравнения, линейная теория (спектры) , теория групп, спинорный анализ, и многие другие.

Answer 2

Лично ты их уже сейчас можешь применить в нестандартных тригонометрических задачках - например, чтобы cos (10x) представить в виде многочлена от cos (x) и sin (x) , а после этого даже и просто от cos (x) .

cos (x) + i*sin (x) возведи в десятую степень (см. бином Ньютона) и возьми действительную часть - см. формула Муавра. Вроде, и бином Ньютона, и формулу Муавара в школе проходят. Или проходили, не важно, это не особо заумные штуки.

Да и комплексные сопротивления (импедансы) в задачах на синусоидальный ток в школе проходят или проходили.

Остальное уже за рамками школьного курса, но комплексные числа упрощают решения очень многих задач.

Answer 3

Они не "зачем-то там нужны", и их не выдумывали с какой-то целью. На них наткнулись и стали исследовать.
Если будете изучать математику, то научитесь смотреть на них не как на вычурную искусственную конструкцию, а как на естественное расширение понятия "число")