Доказать справедливость равенства

Answer 1

Запишем не вызывающе сомнений равенство:
x*x*dt = x*x*dt
Слева и справа - одно и то же, просто слегка изменён порядок сомножителей, что не меняет всего выражения.

1) По определению дифференциала dx = x*dt
Подставля это выражение вместо x*dt в левую часть равенства, получаем:
x*dx

2) По определению второй производной:
x* = (x*) *
Тогда выражение x*dt = (x*) *dt представляет собой производную некоторой функции, умноженную на дифференциал независимой переменной. По определению это есть дифференциал этой функции, т. е. (x*) *dt = d (x*) . А значит, x*dt = d (x*) . Это легко можно понять иначе, введя новую переменную y = x*. Тогда y* = x*, y*dt = dy. Последне равенство при обратной подстановке даёт x*dt = d (x*) .
Подставля теперь это в правую часть первоначально записанного равенства, получаем x*x*dt = x*d (x*)

3) Итак, после преобразований мы получили в левой части равенства x*dx, а в правой x*d (x*) .
Значит, x*dx = x*d (x*) , что и требовалось доказать.