Факт-он, а почему гугл "по обоим" подчёркивает, как ошибку, а "по обем"-одобрят?

Answer 1

Вспоминаем правило, что с существительными женского рода употребляется «обе», а с существительными мужского рода - «оба».

Таким образом, просклоняем по падежам «обе стороны»:

И. п. - что? обе стороны

Р. п. - нет чего? обеих сторон

Д. п. - дать чему? обеим сторонам

В. п. - вижу что? обе стороны

Т. п. - горжусь чем? обеими сторонами

П. п. - думаю о чем? об обеих сторонах.

Ответ: правильно "по обеим сторонам"

Answer 2

А почему, как что, так сразу гугл? И подчёркивает, и "одобрят" не он, а автоматическая система проверки орфографии. Так уж она у вас настроена, что "обем" внесено в е словарь, а "обоим" там нет. И как убрать из е словаря ненужную словоформу, я не знаю. Но если вы разок ей укажете, что "обоим" - правильно, то она запомнит и эту форму и больше не будет е подчёркивать.