Оплата картой или оплата по карте? Как правильно говорить?

Answer 1

Карта - это просто инструмент оплаты, такой же как наличные, безнал платежи, чеки и пр. Падеж везде одинаковый. Вы же не говорите "оплата по наличным" или "оплата по чекам".
Оплата картой, с помощью карты.

Answer 2

правильно говорить: оплата по карте, которая является ключём для доступа счёту, с которого должны списать деньги за товар.
вот именно так на кассе и говори.