Глупый вопрос про значения производной

Question

Говоря о физическом смысле производной, легко понять, что, например, для графика пути производная в какой-либо точке графика будет означать мгновенную скорость в этой точке. Ну и то, что производная пути по времени скорость, а производная скорости по времени уже ускорение.
Так вот, все легко и понятно многим.

Зная еще со школы таблицу производных, рассмотрим, например, линейную функцию, ну, f (x) =4x-3. Производная равна 4, все легко и просто. Так как она будет означать скорость изменения функции, то по таблице значений видно, что значения функции после каждого аргумента меняются одинаково, все отличаются через каждый 1x на 4, тут все понятно.

А вот если взять f (x) =x^2. Производная равна 2x. Значения уже функции и е производной как-то вобще несовместимы. Если сделать функцию 2x, то это будет похоже на "скорость" изменения функции, там прямо видно будет, в какой точке какая "скорость" и в какой сответственно будет следующая. я просто не понимаю, почему именно так? Как вывели эти 2x мне понятно, через предел без проблем можно получить. Геометрически я смысл тоже понимаю (тангенс угла наклона касательной) , но я не понимаю зачем эти значения. Определять рост, падение или постоянность функции можно, а что дают эти значения производной? Ведь производная как раз призвана определять точно изменение функции.

Извините за мою тупость, уже все забыл, а тут вот чего-то мысль пришла такая.

Answer 1

скорость, ускорение - мгновенное понятие. Берется в каждой точке.

какие проблемы-то? вы видели спидометр у автомобиля? Скорость может меняться как угодно, а стрелка показывает, чему скорость равна в каждый момент

двигаться можно по любому закону. Например, сброшенная с балкона чугунная гиря летит практически по закону x = h-gt^2/2. То есть точно как вы описали. И в каждый момент у гири есть скорость, и она растет, гиря разгоняется.