Question

существуют ли такие натуральные числа a и b, что a^2-3b^2 = 8

Answer 1

Рассмотрим сравнение по модулю:
a^2=3b^2 (mod 8)
Легко проверить, что для нечетных a, b это не выполняется. (для всех нечетных x выполняется x^2=1 (mod 8)
Если a=2a', b=2b', то выражение примет вид:
a'^2-3b'^2=2
Сравнение по модулю 8 снова дает понять, что при нечетных a' и b' это не возможно (1-3=-2=2 mod 8 - неверно) . Если они разной четности, то слева выражение будет нечетным. Если они оба четные, то левая часть кратна четырем. Получается, решений нет.
P. S. Сравнение по mod 3 приведет к a^2=2, что тоже не может выполняться. Этот проще, я просто не сразу догадался.