Расскажите, пожалуйста, как сумма превращается в интеграл?

Answer 1

На то есть специальная теорема имени Исака нашего Ньютона.
Формулировку хорошо изложил Пётр Прудников:
"Самое интересное, что сумма этого огромного количества слагаемых равна всего лишь разности двух чисел. Это первобразные от формулы скорости в конечное время и в начальное".
А строгое математическое доказательство изложено много где, например в знаменитом многотомнике В. И. Смирнова.

Answer 2

Если скорость умножить на время получим путь. Если скорость менялась и путь петлял, то по этой формуле путь можно определить только на коротком участке. Складывая все такие участки с общей формулой, получаем сумму, а устремля время к нулю, т. е. делая его настолько малым, что участки получаются очень прямыми и скорость на них почти постоянной, получаем интеграл. Пределы интегрирования здесь - это время от начала до конца. Самое интересное, что сумма этого огромного количества слагаемых равна всего лишь разности двух чисел. Это первобразные от формулы скорости в конечное время и в начальное

Answer 3

Измельчением суммы . Берется больше меньших слагаемых. В пределе - бесконечно много бесконечно малых. При вычислении интегралов численно просто очень много очень малых слагаемых.