Как математически доказать чему равна производная 2 ^ x? Или это просто вера в таблицы производных ?

Answer 1

нет определения термину ПРОИЗВОДНАЯ

но.
есть тьма советов КАК ВЫЧИСЛЯТЬ ЕЁ

то есть, нужно вычислять ТО НЕ ЗНАЮ ЧТО
а это только если верить
получается, математика верой лишь сильна, как и любая другая религия

Answer 2

Производные логарифмов/экспоненты/показательной функции выводятся через второй замечательный предел, купите себе бесплатный онлайн-учебник, полстраницы текста вам тут писать никто не будет.

Тригонометрических - через первый.