теорвур загляни не бойся

Question

Олежа бросает два обычных шестигранных кубика, если он получает дубль (одинаковые значения на обеих костях) , то он заканчивает игру, в противном случае повторяет бросок пары кубиков. Так он продолжает до тех пор, пока не получит дубль. Сколько бросков он сделает в среднем? Ответ округлите до ближайшего целого.

Answer 1

Найдем вероятность выкинуть пару.
Всего возможных вариантов 6·6 = 36
При этом пар 6 всего (1 и 1, 2 и 2 и т. д. ) .
Т. о. шанс выкинуть пару равен 6/36 = 1/6
Рассмотрим суть игры: Пусть событие П - выкинуть пару, а событие Н - не выкинуть пару, ему противоположное.
 (само собой его вероятность равна 1-1/6 = 5/6)
Завершение игры возмоно при таком варианте событий:
П (выкинуть пару с первого раза) или
НП (первй бросок - нет пары, второй пара) или
ННП (2 первых без пары, третий пара) или
НННП.
Кака видно, такую черед событий можно продолжить до бесконечности.
Тогда вероятность завершить игру, выкинув пару будет равна сумме этих отджельных событий, кака независимых (нельзя закончить игру одновременно на 2 и 4 ходу, например) , но в пределах серии события зависимы, т. к. получив Н, мы будет кидать кубики еще раз, пока не получим П
Тогда вероятность собыитя ННП (для примера) :
 (5/6) · (5/6) · (1/6)
т. е. при числе попыток 3, можно его упростить до вида:
 (5/6) ^ (3-1) · (1/6)
тогда lля любого числа событий от нуля до n, 0. n: (5/6) ^ (n-1) · (1/6)
Тогда полная вероятность:
р (N) = Сумма [ (5/6) ^ (n-1) · (1/6) , n = 0. N]
N - число бросков кубика,
р (N) - вероятность получить пару.
NB: если посмотреть внимательно, то под знаком суммы стоит ничто иное ка геометрическая прогрессия, первый член которой 1/6, а знаменатель 5/6.
Иогда уравнение можно упростить, воспользовавшись суммой геометрической прогрессии:
р (N) = 1/6 · [1 - (5/6) ^N] / (1- 5/6) = 1 - (5/6) ^N
Средне число бросков будет сответствовать наиболе вероятному их число. что есть ничто иное, как математическое ожидание случайной величины.

И. мы получим бесконечность. ха-ха-ха.
Т. е. матожидание не определено.