После достижения какого значения величина становится пренебрежимо малой ?

Question

Все ученые и не ученые упрощают (делая мене точными и боле изящными) свои выкладки, но никто из них не ответит, когда пренебрегать уже нельзя.

Answer 1

Первым делом нужно понять, что такое пренебрежимо малая величина в математике.

Предположим, что у вас есть какая-то функция, значение которой нужно вычислить с заданной точностью, то есть каким-то числом значащих цифр. Для многих функций для получения точного значения нужно вычислить сумму ряда с бесконечным числом членов. В этом нужно исследовать сходимость ряда, то есть найти число членов ряда N, которые дают основной вклад в сумму, а остальными можно пренебречь, поскольку их вклад в сумму меньше допуска. В одних случаях (например, если ряд знакопеременный и убывает монотонно) такое N находится просто. В других сложне.

Если речь идет об измерениях в физике, то в них ограничение на точность возникают по естественным причинам. Допустим, у вас есть весы, которые взвешивают цистерну до заправки и после. Имет ли в этом случае смысл применять весы, которые измеряют массу с аптекарской точность до сотых долей миллиграмма. Вы же понимаете, что одной солярки сгорело намного больше, чем миллиграмм. В этом случае пренебрежимо малая величина возникает в силу технических причин, то есть невозможность проводить измерения с заданной произвольной точностью.

Answer 2

Это зависит от заданной и возможной точности измерения. Пренебрегать нельзя всегда, но и достигнуть абсолютных значений тоже бывает невозможным. По этому и определяют для себя точность измерения исходя из возможностей.

Answer 3

Это зависит от практических нужд. Например, когда спрашивают расстояние от Москвы до Барнаула, то интересуются километрами, а миллиметрами пренебрегают.