Правда ли, что Эйлер умел работать даже с расходящимися рядами?

Answer 1

да .
Члены последовательности (1, 2, 3, 4, …) не стремятся к нулю,
поэтому по необходимому условию сходимости рядов ряд 1 2 + 3 4 + … расходится.
 Для дальнейшего рассмотрения будет полезным боле подробно рассмотреть
 расходимость этого ряда. По определению, сходимость или расходимость
бесконечного ряда определяется сходимостью или расходимостью
 последовательности его частичных сумм, а частичными суммами ряда
 1 2 + 3 4 + …являются
1 = 1,
1 2 = 1,
1 2 + 3 = 2,
1 2 + 3 4 = 2,
1 2 + 3 4 + 5 = 3,
1 2 + 3 4 + 5 6 = 3,
преобразование Эйлера, одно из своих изобретений.
 Чтобы вычислить преобразование Эйлера, начинают
с последовательности положительных членов —
в данном случае1, 2, 3, 4, …. Первый член этой последовательности обозначен a0.
В современной терминологии, 1 2 + 3 4 + …
называется суммируемым по Эйлеру, с суммой равной 14.