Интригующая олимпиадная задача по геометрии

Question

В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM=8:5. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади треугольника AKM.

Бьюсь уже час, помогите пожалуйста. Лучший ответ гарантирован.

Answer 1

Доказываете подобие треугольников с помощью двух углов (одни вертикальные, вторые равны по сумме) . Дале получаем: MK/KP=AM/BP=AK/BK. Отношение BK и KM мы знаем, поэтому:
MK/KP=AK/BK;
MK*BK=KP*AK;
BK=8MK/5;
8MK^2=KP^2 (доказательство равенства отрезков KP и AK строится на основе Th Фалеса ( Если на одной из двух прямых отложить последовательно равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки) ;
KP=MK (8/5) ^ (1/2) (степень 1/2 - это корень второй степени) ;
MK/KP=MK/MK (8/5) ^ (1/2) = (8/5) ^ (1/2) . Это есть коэффициент подобия треугольников. Отношение их площадей равно квадрату этого числа:
Sakm/Sbkp=0, 625. Вот так)

Answer 2

А ты не парься.
Исходи из того, что задача верна для любого треугольника.
Возьми прямоугольный треугольник с известными сторонами.
Засунь его в декартовы кординаты.
По Пифагору найди кординаты точек К и П.
По кординатам найди длины сторон интересующих тебя треугольников.
По Герону найди площади.
Посчитай их сотношение.