Сколько можно провести через даную точку А плоскостей, которые паралельны даной площине а?

Answer 1

У Евклида одын.

На всякий пожарный разберись со случаем, когда a проходит через A, параллельна ли плоскость a по определению сама себе.
Удобно делать параллельность отношением эквивалентности, но тогда параллельные плоскости могут совпасть, следовательно, пересечься.

Answer 2

Существование плоскости, параллельной данной плоскости

Теорема . Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Доказательство. Проведем в данной плоскости какие-нибудь две пересекающиеся прямые а и b (рис. 331) . Через данную точку А проведем параллельные им прямые a1 и b1. Плоскость, проходящая через прямые a1 и b1, по теореме параллельна плоскости .

Допустим, что через точку А проходит другая плоскость, тоже параллельная плоскости . Отметим на плоскости какую-нибудь точку С, не лежащую в плоскости . Проведем плоскость через точки А, С и какую-нибудь точку В плоскости . Эта плоскость пересечет плоскости, и по прямым b, a и с. Прямые a и с не пересекают прямую b, так как не пересекают плоскость . Следовательно, они параллельны прямой b.

Плоскости, параллельные данной плоскости

Но в плоскости через точку А может проходить только одна прямая, параллельная прямой b. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана полностью.