Как понять, что функция имет некоторое максимальне значение, а не возрастает бесконечности?

Question

Функция с двумя переменными. С одной мне все ясно.

Answer 1

Надо исследовать её частные производные. В точке экстремума должны быть равны нулю ОБЕ, при этом ВТОРЫЕ производные должны отличаться от нуля. Если и вторые производные, обе, равны нулю, надо найти, производные какого порядка начинают отличаться от нуля. Если этот порядок чётный - у нас экстремум.
Минимум или максимум - определяется знаком первой отличной от нуля производной чётного порядка.
Если знаки разные - это седло. Пример такой функции - однополостный гиперболоид.