Question

Математический маятник (груз малых размеров на легком подвесе длины l) находится
в положении равновесия. Какую наименьшую скорость надо собщить грузу, чтобы он
мог совершить полный оборот. Рассмотреть два случая: груз подвешен 1) на жестком стержне
и 2) на нерастяжимой нити.

Answer 1

Давайте сначала разберемся, в чем разница между стержнем и нитью в этой задаче. В случае стержня достаточно, чтобы груз в верхней точке имел как угодно малую скорость - ну почти ноль. Тогда он провернется и сделает полный оборот. Но в случае нити ситуация другая. Чтобы груз сделал полный оборот, нить должна быть всё время растянута - хотя бы немножко. Иначе груз просто перестанет двигаться по окружности. Когда груз в верхней точке, то не его скорость может быть почти нулем (как в случае стержня) , а _натяжение нити_ может быть почти нулем. Но для этого груз должен иметь в верхней точке ненулевую скорость (а какую именно - сейчас посчитаем) !

Случай со стержнем - проще: его легко решить на основании одного только закона сохранения энергии. В нижней точке кинетическая энергия груза равна (m*v^2) /2, а в верхней, где скорость груза равна нулю, его потенциальная энергия равна mg * 2l. Отсюда (m*v^2) /2 = m*g * 2l, и мы находим v = 2 * sqrt (g*l) .

Теперь - с нитью. В верхней точке груз удерживается "на орбите" центростремительным ускорением, которое складывается из силы тяжести и силы натяжения нити. Минимальная допустимая скорость для груза - такая, что _всё_ центростремительное ускорение создается только силой тяжести, а нить не растянута. Иначе говоря, минимальная скорость в верхней точке вычисляется из условия (v_min) ^2 / l = g. Отсюда v_min = sqrt (g*l) . Теперь и здесь можно применить законо сохранения энергии: (m*v^2) /2 = mg * 2l + (m*v_min^2) /2. Отсюда v = sqrt (5*g*l) .

Answer 2

Обычно дают эту задачу, уточня: строго по окружности и по любой траектории. Сответственно и энергии получаются разные: в первом случае 5/3mgH, во втором достаточно просто mgH: здесь высота — двойной радиус оборота, его диаметр. Надеюсь, решение найдёшь самостоятельно