Маховик с моментом инерции J разгоняется моментом силы М

Answer 1

уравнение движения Je=M-Aw. учитывая что е=w` получаем диф. уравнение Jw`+Aw=M. решаем его стандартным способом w=uv, w`=u`v+uv`. подставля имем Ju`v-u (Jv`+Av) =M. приравниваем скобку к нулю, получаем диф. уравнение с разделяющимися переменными v`/v=-A/J, интегрируя имем v=e^ (-At/J) . постоянную интегрирования, как известно, на этом этапе не записываем. теперь исходное уравнение принимает вид Ju`-e^ (-At/J) =M или u`=M/J*e^ (At/J) . интегрируя получаем u=M/A*e^ (At/J) +C. наконец w=uv= (M/A) +C*e^ (-At/J) . при t=0, w=0, следовательно С=-М/А и окончательно w=M/A[1-e^ (-At/J) ]. при неограниченном возрастании t угловая скорость w стремиться к величине М/А. реально можно вычислить конечное время t через которое w будет как угодно близко к М/А. например рассчитаем через какое время угловая скорость достигнет 99% от максимальной. имем M/A[1-e^ (-At/J) ]=0, 99*M/A. отсюда e^ (-At/J) =0, 01, тогда -At/J=ln0, 01=-4, 6 и наконец t=4, 6J/A.