Целые и рациональные числа.

Question

Почему рациональное число определяется как дроби какого-то вида, а целое не определяется как "разности" натуральных какого-то вида, а вместо этого определяется как натуральное, ему противополжное или ноль?
Деление логически связано с дробями, а что является аналогом дроби для разности вместо деления?

Answer 1

это всё исторически сложилось.

сначала человечество научилось считать, появились натуральные числа 1, 2, 3, 4 и т. д.

потом оно научилось брать в долг, появились отрицательные числа -1, -2, -3 и т. д.

потом оно научилось делить добычу (решать линейные уравнения) , появились рациональные числа 5/12, 7/40 и т. д.

потом принялось измерять длины, и выяснилось, что есть несоизмеримые отрезки, например, длина стороны квадрата и его диагональ (алгебраические уравнения)

потом занялось мат. анализом, и числа превратились в пределы фундаментальных последовательностей.

а потом наступил XX век, и начался настоящий разврат.

Answer 2

стер фигню Как проще, так и строят целые. Определя целые как натуральные, им противоположные и ноль, весьма легко дать определения сложения/умножения целых и упорядочить их на больше/меньше/равно. Но это не означает, что целые нельзя построить как-то иначе. Ведь цель построения целых по натуральным - построить что-то такое, что удовлетворяет аксиомам, и не столь важно, как именно строить.