Армянину — что он армянин, этонцу — что он эстонец, еврею — что он еврей, а буряту — что бурят. Почему тире?

Answer 1

Тире ставится вместо пропущенного члена предложения, обычно - сказуемого. Кстати, здесь тире вместо пропущенного слова "ставится вместо". В Вашем вопросе утерян контекст и не понятно, что означает тире, возможно, перед этим предложением упоминалось какое-то действие.

Answer 2

Потому что заменяет сказуемое. Какое именно тут не понятно, но что-то типа:
Армянину сказать что он армянин, эстонцу сказать что он эстонец и так дале.
 (какой именно так глагол должно быть понятно по предыдущему предложению)