Вопрос механикам и физикам!

Question

Скорость движения материальной точки изменяется по уравнению v= f (x) , где x - расстояние, пройденное точкой от начального положения О. Определить время, которое требуется для преодоления точкой расстояния x= s. Для удобства положим, что функция f (x) положительная.
Прошу высказать свои мнения о следующих подходах к решению данной задачи:
1) Определяется средня скорость движения точки по формуле vcp= 1/s*int[from 0 to s]f (x) dx;
вычисляется время t= s/vcp.
2) Используя равенство dx/dt= v, приходят к дифуравнению с разделяющимися переменными dt= dx/f (x) ;
решая её, находят время t= int[from 0 to s]dx/f (x) .

Answer 1

Проще начать со второго утверждения. Решение многих одномерные задачи теоритической механике может быть представленно в виде: t (q) =. integrate[from q0 to q]dq/F (q) . Я поменял букву x на букву q, поскольку вывод справедлив не только для линейных кординат, но и для угловых. Например, посмотрите как решатеся задача движения физического маятника. В общем случае нужно смотреть функию Гамильтона механической системы H (p, q) , q-это обобщенная кордината, а p-обощенный импульс, который прямо пропорионален первой производной от q. В консервативных система функция Гамильтона равна сумме кинетической и потенциальной энергии. Проще говоря, если из формулы для полной энергии можно явно выразить импульс p, то все свелось к задаче, которую вы решили. Что касается средней скорости на интервале от q0 до q1, то она, после того как получена формула t (q) считается очевидно.