В N-ичной системе счисления число ABCABC обязательно делится на 7. При каком наименьшем N это возможно?

Question

ПОДСКАЗКА : В частности, на 7 делится число 1001
 N .

Answer 1

число АВСАВС в N-ичной системе имет вид A*N^5+B*N^4+C*N^3+A*N^2+B*N+C= (N^3 (A*N^2+B*N+C) . это число обязательно (при любых А, В и С) будет делиться на семь, если на 7 делится число (N^3. в частности при N=10, получаем указанное вами число 1001. установим может ли N быть меньше 10. допустим что N^3 кратно 7, тогда N^3=7t, где t какое-то натуральное число. тогда t= (N^3/7=[ (N^3-3N (N]/7=[ (N (N^2-N]/7. t будет натуральным если или (N делится на 7, или (N^2-N делится на семь. очевидно что (N делится на 7 при минимальном N=6. проверяем деление (N^2-N на 7 при N6, убеждаемся что только при N=5 это возможно. ответ: минимальное N равно 5.

Answer 2

Не понял. Найти наименьше натуральное N, при котором 7 | N^3 + 1?

Ну, наверное, если подсказка такая, то  N = 3.
Действительно, 1^3 + 1 на 7 не делится, 2^3 + 1 на семь не делится, а 3^3 + 1 можно не проверять - ты подсказал, что делится. Ладно, проверим, 28 на 7 делится.
ИТОГО: N = 3.