Как это решить?

Question

После долгого пребывания в воде, ствол дерева цилиндрической формы
плавает в вертикальном положении так, что над водой находится лишь его малая
часть. После незначительного толчка ствол колеблется с периодом T = 5 c.
Определить длину ствола.

Answer 1

Задачка легко решается по аналогии с грузом на пружине. При отклонении груза возникает возвращающая сила, пропорциональная отклонению x:

F = k * x,

где k - жесткость пружины.

При легком толчке ствол погрузится на х, в результате чего вытеснит дополнительный объем воды, равный

v = S * x,

S - площадь поперечного сечения ствола. Сответственно, появится дополнительная архимедова сила

F = rho * v * g = rho * g * S * x

где rho - плотность воды, g - ускорение свободного падения. Эта сила будет играть роль возвращающей силы. Сравнивая формулы для F в двух случаях, видим, что в роли коэффициента k выступает произведение rho * g * S. Масса же ствола равна

m = rho * V = rho * S * L,

где V - объем всего ствола, L - его длина. Обратите внимание, что мы не должны различать плотность воды и плотность дерева, потому что ствол "еле-еле плавает". Поэтому во всех формулах используется одно и то же значение плотности rho.

Подставим это в формулу для периода колебаний пружины:

T = 2п * sqrt (m/k) = 2п * sqrt ( (rho * S * L) / (rho * g * S) ) = 2п * sqrt (L/g)

А дальше - сами справитесь? T - известно, g - тоже известно. Сможете выразить L?