Почему в Дедекиндовом сечении у одного из подмножеств нет минимального элемента?

Question

Поделим действительные числа на подмножества A, B. Пограничное число а пусть окажется наибольшим в А. Пишут, что в этом случае нет наименьшего числа в В.
Как такое возможно? Следующе за а число разве не будет наименьшем в В?

Answer 1

А нет числа, непосредственно следующего за а.
Доказательство. Допустим, что такое число есть. Обозначим его b. Ясно, что b a. А теперь посмотрим на число (a + b) /2. Легко видеть, чо оно больше а и меньше b. То есть число b не является следующим за а. Доказано.

Впрочем, примерно это и написано по вашей ссылке.

Answer 2

Следующе за а число разве не будет наименьшем в В?

Чувак, нету никакого "следующего числа".

А в дедекиндовом сечении не так. Там нет ни наибольшего в А, ни наименьшего в Б.