Как можно доказать, что существование предела послед-ти комплексных чисел

Question

равносильно существованию предела у посл-ти аргументов (в случае ненулевого предела) и у посл-ти модулей?

Answer 1

Ну, вобще-то очевидно. Попробуй от противного. Запиши определения пределов и помедитируй .

Answer 2

Пишем: z_n=x_n+i*y_n=|z_n|* (cos f_n+ i*sin f_n)
 
Если f_n -> F, |z_n| -> M, то по непрерывности синуса и косинуса
пределы вещ. частей и мнимых частей имеются:
x_n -> M*cos F, y_n -> M*sin F.
 
Обратно, если есть предел z_n=Z=X+iY, то сущ. пределы у вещ. и мнимых
частей последовательности, и по непрерывности кв. корня будет:
|z_n| = sqrt (x_n^2+y_n^2) -> sqrt (X^2+Y^2) = |z|;
немного хитре с посл-стью аргументов: ясно, что синусы и косинусы
сходятся, а дале надо выбирать такие значения аргументов, чтобы
и сами углы сходились. Например, если Z в 1-й четверти, то ссылка
на непрерывность арксинуса или арккосинуса.

Answer 3

Запросто. Это напрямую следует из определения предела.
Существование предела последовательности комплексных чисел означает существование точки, такой что при достаточно большом n все an попадут в сколь угодно малую окрестность этой точки, т. е. в сколь угодно малый открытый круг с центром в этой точке.
Существование пределов последовательностей аргументов и модулей означает существование точки, такой что при достаточно большом n все an попадут в сколь угодно малый криволинейный четырёхугольник (фигуру, ограниченную двумя сколь угодно близкими концентрическими окружностями и двумя сколь угодно близкими отрезками лучей с началом в начале кординат) , стороны которого находятся на одинаковом расстоянии от этой точки.
 
Чтобы доказать требуемое, надо доказать, что какой бы открытый круг мы ни взяли, можно всегда найти достаточно маленький криволинейный четырёхугольник (с центром в той же точке, что и центр круга) , полностью помещающийся в этом круге и наоборот: какой бы криволинейный четырёхугольник мы ни взяли, можно найти круг, полностью содержащийся в нём.