Они не обращают внимание (или вниманиЯ) на него И как проверить? Ибо все по-разному пишут)

Answer 1

В отрицательной конструкции ОБЫЧНО используется родительный падеж.

Правило:

Розенталь, §201. Падеж дополнения при переходных глаголах с отрицанием

1. Родительный падеж, имеющий в рассматриваемой конструкции значение подчеркнутого отрицания, обычно употребляется в следующих случаях:
.
5) при выражении дополнения отвлеченными существительными: не дает оснований, не обнаруживает понимания, не теряет надежды, не скрывает радости, не осуществляет контроля, не упускает случая, не делает уступок. Например: Здесь шума не любят (Горький) ; Веселья я не ищу (В. Кетлинская) ; Утро не принесло ясности (Леонов) .

Потому что на нас не обращают внимания… [А. П. Чехов. Иванов (1887) ]