А вот суперзадача с бесконечным количеством шариков и корзиной. Что в ответе?

Question

Итак, у нас есть бесконечного объема пустая корзина. И две минуты времени.
Шаг 1:Через одну минуту в корзину добавляются 10 шариков, и убирается самый первый шарик, добавленный в эту корзину
Шаг 2: еще через 1/2 минуты, добавляются еще 10 шариков, и убирается второй шарик, который туда добавили.
Шаг 3: через 1/4 минуты добавляются еще 10, убирается шар 3.
И так дале до бесконечности.

Вопрос: Сколько шаров будет корзине через 2 минуты времени?

Answer 1

Мы никогда не достигнем двух минут, потому что всегда будет ещё один половинный промежуток времени.
Но если мы каким-то чудом через две минуты измерим кол-во шаров, их будет ровно бесконечность, т. к. в ходе заполнениия произведено бесконечное кол-во актов засыпки-изъятия шаров.
Вот если задать точность определения временного интервала, скажем, сколько шаров там будет, пока между актами больше 0, 00000001 с, то тут решение есть.

Answer 2

1) Если считать предел шариков при времени стремящемся к двум минутам, то он равен бесконечности.
2) Если рассматривать вложенные и вынутые шары, то получим два счётных множества. Они равномощны. Именно равномощность множеств Вас и смущает. Суть равномощности и заключается в том, что между элементами множеств можно задать взаимно-однозначное сответствие.
3) Можно эту задачу для наглядности рассмотреть на двух множествах мощности континум.
Где больше точек, на отрезке 1 см. или на отрезке 2 см? С одной стороны мы можем вычесть один отрезок из другого и получим отрезок в 1 см. Т. е. ответ очевиден, на отрезке 2 см точек больше. С другой стороны мы легко построим взаимно-однозначное сответствие между всеми точками каждого отрезка и найдём для каждой точки отрезка 2 см свою персональную точку на отрезке 1 см. Просто расположите отрезки один под другим и проведите через их концы прямые. Получите угол. А дальше все просто. Берёте любую точку на любом отрезке и строите прямую через эту точку и вершину полученного угла. Другой отрезок она пересечёт в 1-ой точке. Так становится видно, что каждой точке на одном отрезке найдётся своя пара на другом.
4) Просто арифметика не годится для работы с бесконечностями. Она работает с конечными числами, хоть и с бесконечным их количеством .