уменьшится ли вес тела, если оно начнёт очень быстро вращаться вокруг собственной оси?

Answer 1

Увеличится (и лучше масса, а не вес) . Тек как энергия вращающегося тела больше, чем невращающегося. Но эффект весьма мал. За пределами чувствительности современных приборов.

Answer 2

Если по соседству есть другое вращающеся тело, то появляется сила, которую иногда называют "гравимагнитной". В рамках общей теории относительности (ОТО) это называется эффектом Лензе-Тиринга. Надо сказать, что для измерить гравимагнитную силу совсем не просто. В земных условиях даже очень быстро вращающийся шарик остановится из-за сил трения.
Надо сказать, что первые экспериментальные проверки эффекта начались сравнительно недавно. NASA запустила аппараты Gravity Probe в 2009 году, Европейское космическое агентство вывело свою спутниковую группировку в 2012-2013 гг.
Таким образом, новостей по теме гравимагнетзма стоит ждать.