Как записать выражение 1^2+2^2+3^2+. +n^2 в виде математической формулы?

Answer 1

сумму такого ряда находим в виде многочлена степень которого на единицу больше степени заданного ряда, т. е. S (n) =1^2+2^2+3^2+. +n^2=An^3+Bn^2+Cn, где А, В и С какие-то неизвестные коэффициенты которые необходимо найти. найдем их методом неопределенных коэффициентов.
при n=1, имем S (1) =1^2=An^3+Bn^2+Cn или А+В+С=1 (1)
при n=2, имем S (2) =1^2+2^2=An^3+Bn^2+Cn или 8А+4В+2С=5 (2)
при n=3, имем S (3) =1^2+2^2+3^2=An^3+Bn^2+Cn, или 27А+9В+3С=14 (3)
решая систему из трех уравнений (1) , (2) и (3) находим А=1/3, В=1/2, С=1/6, следовательно S (n) =n^3/3+n^2/2+n/6=n (2n^2+3n/6. наконец раскладывая квадратный трехчлен на множители 2n^2+3n= (n (2n, получаем S (n) =n (n (2n/6.