задача по геометрии с олимпиады. Как это решить ?

Question

На олимпиаде были легкие задания по алгебре. и 1 по геометрии - нужно решить задачу 3-мя нестандартными способами : 1. с помощью комплексных чисел 2) с помощью полярных кординат 3) через векторы

Answer 1

ну, так-то решить несложно:
пусть |AB|=1, |AC|=t
свяжем систему кординат с ABC так, чтобы A = (0, 0) , B= (1, 0) C= (0, t)
тогда прямая AA1 будет иметь уравнение: y = x/t
прямая BB1 будет иметь уравнение: y = - (x-1) * t/ (1+sqrt (1+t^2)
прямая CC1 будет иметь уравнение: y = t* (1-2x)
поскольку они пересекаются в одной точке, то система должна быть совместна:
y = x/t
y = t* (1-2x)
y = - (x-1) * t/ (1+sqrt (1+t^2)
при помощи первого уравнения избавляемся от y в остальных уравнениях
из второго уравнения выражаем x через t и подставляем в третье уравнение, которое в итоге сведется к биквадратному уравнению: t^4-t^2-1=0
в результате получим t = sqrt (1+sqrt (5) /2)
а зная t уже легко выписать нужный синус в прямоугольном треугольнике с катетами длины 1 и t.

но как к этой ботве прикрепить комплексные числа и полярные кординаты - загадка. наверно, эти штуки помогли бы при нахождении уравнения биссектрисы BB1.
например, если устроить полярные кординаты в точке B, пересчитать в них точку C, то, владея этими знаниями, можно легко найти какую-нибудь точку прямой BB1.
ну и комплексные числа можно использовать так же: поместить в точку B центр комплексной плоскости, найти выражение числа, сответствующего точке С, извлечь корень и получить готовую точку прямой BB1.

Answer 2

"нарисуй" полярную систему кординат, а потом осуществи переход в декартову систему кординат и решай как предложил Мудрец Аглая Шниц
" нарисуй" вектора. каждый вектор имет кординаты (в декартовой системе кодинат) . запиши кординаты векторов и и решай как предложил Мудрец Аглая Шниц
и т. д.
 (маразм задачи не знает границ. )