Чем из этого является спин? Вектор, его проекция, модуль, половина количества векторов в наборе, оператор или другое?

Answer 1

Ответ будет неоднозначным. Потому что слово неоднозначное.
В «основном» смысле спин - это момент импульса частицы. А значит это псевдовектор.
Но слово спин ещё используется как замена длинного «спиновое квантовое число». Тогда это скаляр из области действительных чисел со значениями 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2 и т. д.

Answer 2

Если пользоваться вашим перечислением, то на первое место нужно поставить "оператор". Оператор векторный (точне псевовекторный) . Как у любого векторного оператора у него есть модуль, проекция. Собственные значения проекции полуцелые значени 0, 1/2, 1, 3/2 и т. д.