Трое на кординатной плоскости, не считая L (М) . Задача о минимизации суммы расстояний.

Question

Дано:
1) Кординатная плоскость XOY;
2) точки А (2; -3) , Б (3; 6) , С (4; -1) ;
3) точка м с неизвестными кординатами (х; у) ;
4) L (М) = |МА|+|МБ|+|МС|.

Задание:
1) Найти такие кординаты М (х; у) , при которых L (М) достигает своего минимума.

Мои сображения:
1) Вычислить длины сторон треугольника {|АБ| = корень (82) , |БС| = корень (50) , |АС| = корень (8) };
2) Определить 2 кратчайшие стороны треугольника АБС и вычислить сумму их длин {|БС|+|АС| = 7*корень (2) }
3) Допустить, что М=С, тогда (х; у) = (4; -1) . Очевидно, что |МС| = 0, значит, L (М) = |БС|+|АС| = 7*корень (2) . Очевидно, что |БС|+|АС| меньше суммы любых других пар сторон.

Мой вопрос:
1) Можно ли утверждать, что М должна совпадать с одной из вершин треугольника АБС (и утверждать, что определять, с какой именно, нужно согласно логике пункта 2 моего решения) ? Как доказать или опровергнуть это утверждение?
2) Если нельзя, интересует алгоритм решения задачи. Вроде бы она достаточно жизненная и должна иметь широкое применение в какой-нибудь логистике, но образца решения хотя бы чего-то похожего я не нашел.

П. С. Задача взята из учебника Лунгу "Линейное программирование", 2005 (легко гуглится) . Страница 13, упражнение 1. 11.

Answer 1

Да че там думать-то, сумма градиентов расстояний до вершин (с обратным знаком) - это сумма единичных векторов, направленных из рассматриваемой точки к вершинам, что, как бы, сразу делает ответ Дивергента очевидным.
И, кстати, сумма расстояний от точки A до вершин - строго выпуклая функция от A, у которой с гладкостью хреновато только в трех точках.

А вам, наверное, каким-то методом нужно было задачку решить - типа градиентного спуска