Есть 12 монет, одна из которых фальшивая.

Question

При этом неизвестно, в какую сторону она отличается от настоящих, т. е. она может быть как легче, так и тяжеле. В вашем распоряжении чашечные весы без гирь, как в аптеке. Нужно за три взвешивания найти фальшивую монету, а также выяснить, тяжеле она или легче.

Answer 1

Первым взвешиванием сравним две группы по четыре монеты: 1, 2, 3, 4 и 5, 6, 7, 8.

Случай I: первое взвешивание показало равенство
Если весы покажут равенство, то фальшивая монета находится среди оставшихся четырёх монет. Тогда вторым взвешиванием мы сравним три монеты 9, 10, 11 с заведомо настоящими 1, 2, 3.

Если и в этот раз весы покажут равенство, то фальшивка - монета номер 12, и третьим взвешиванием мы сравним её с настоящей и узнаем, легче она или тяжеле.

Если же три монеты 9, 10, 11 оказались легче (тяжеле) , то третьим взвешиванием сравним друг с другом монеты 9 и 10. Если они равны, то монета 11 - фальшивая, и она легче (тяжеле) настоящей. Иначе заключаем, что из монет 9 и 10 фальшивая та, которая легче (тяжеле) другой.

Случай II: первое взвешивание показало неравенство
Теперь предположим, что первое взвешивание показало, что монеты 1, 2, 3, 4 тяжеле, чем 5, 6, 7, 8. Случай, когда первые монеты оказались легче, симметричен.

Во втором взвешивании на одну чашу поместим монеты 1, 2, 5, а на другую - монеты 3, 4, 9 (монета 9 - заведомо настоящая) .

Если второе взвешивание показало равенство, то у нас остаются три монеты 6, 7, 8, одна и которых легче остальных. Третьим взвешиванием сравниваем монеты 6 и 7. Если они равны, то монета 8 легче остальных. Иначе фальшивой является та, которая легче другой.

Теперь предположим, что во втором взвешивании монеты 1, 2, 5 оказались тяжеле, чем 3, 4, 9. Это означает, что фальшивка находится среди монет 1 и 2, причём она тяжеле остальных. Сравнив в третьем взвешивании эти две монеты друг с другом, мы определим фальшивую.

Предположим, что во втором взвешивании монеты 1, 2, 5 оказались легче, чем 3, 4, 9. Это означает, что либо монета 5 легче остальных, либо одна из монет 3 и 4 тяжеле остальных. Третьим взвешиванием мы сравним друг с другом монеты 3 и 4 и найдём ответ.