Почему косинус может быть отрицательным?

Question

Ведь косинус находится делением (отношением) одной стороны на другую, а точне их длин. А разве длина стороны может быть отрицательной?
Но длина ведь не может быть отрицательной, поэтому отрицательного косинуса существовать не может. А почему он тогда есть?

Answer 1

Вы когда-то умножение (натуральных! ) чисел определяли через сложение, а теперь умете умножать 1, 2 на -3, 47. Вы просто взяли определение и продолжили каким-то образом его на боле широкое множество.

С косинусом - то же самое: косинус [произвольного действительного] угла определяется через единичную окружность, а ваше определение годится только для острых углов.

Ищи: "косинус действительного числа".

Answer 2

Определение косинуса как отношения сторон прямоугольного треугольника - только для средних классов. В старших оно расширяется до определения проекции на ось абсцисс радиус-вектора в единичном круге, так оно обобщается для тупых и отрицательных углов и вобще становится функцией произвольного вещественного числа. Потом оно обобщается для комплексных чисел. Есть разные уровни математики. Потом оказывается, что синусы бывают круговые и гиперболические. Потом оказывается, что синус определяется в общем виде как функция, обратная эллиптическому интегралу второго рода. Потом оказывается, что синус можно брать не только от обычных чисел, а и от матриц и тензоров. И т. д.