Как писать? Безинициативный или безынициативный?

Answer 1

безынициативный.
Есть специальное правило о приставках перед словами, начинающимися на И. Правило введено, очевидно, потому, что просто удобне произносить безы, чем бези. Это касается и других приставок: предыстория, сымпровизировать.

Но на мой взгляд, на самом деле жесткой необходимости в этом правиле нет. Ведь вполне можно писать И, а произносить Ы. В русском языке не так уж редко встречается такое. Вот самый простой пример:
ЖИ-ШИ все мы явно произносим через Ы: жир, мыши, шиповник.

Answer 2

Это прилагательное образовано от родственного слова с помощью приставки без-:

инициатива - инициативный - безынициативный.

Чтобы правильно написать это слово, корень которого начинается с гласной, обратим внимание на русскую приставку, заканчивающуюся на согласный. В таком случае происходит корневое чередование и/ы, так что выберу в качестве верного написание рассматриваемого прилагательного безынициативный. Такое написание прослеживается в ряде слов с корневым "и", образованных аналогично с помощью русских приставок на согласный:

игра - безыгровой день;

игла - безыгольное приспособление;

июль - предыюльский вечер;

искра - безыскровая сварка.