Момент инерции тонкого однородного кольца

Answer 1

Очевидно, средне значение квадрата синуса (или косинуса) за период равно 1/2.
Чтобы это понять, не требуется даже уметь интегрировать, достаточно знать основное тригонометрическое тождество и формулы приведения.

Ошибка, видимо, здесь:
dm = . не на то умножил линейную плотность.

Answer 2

поскольку считается момент инерции относительно линии y=0, то расстояние до оси вращения равно просто x.
поэтому под интегралом будет просто x^2 * (m/ (2*pi*R)