Будет ли работать этот электролизер?

Answer 1

Работать будет, но получится другое (в твоей схеме ты потерял натрий) :
На одном контакте будет выделяться хлор, который будет растворятся в воде. На другом будет натрий, НО он будет сразу-же вступать в реакцию с водой, и будет выделяться водород и едкий натр.
Соляной кислоты не получится.

Answer 2

Взаимодействие водорода и хлора - весьма опасный процесс, чреватый взрывом. Я бы дома это не делал. Установку для сжигания водорода в хлоре видел, когда был на практике на заводе.