Так чего же доказал то Курт Гёдель своими теоремами о неполноте?

Question

Первая теорема о неполноте говорит нам, что

Любая внутренне непротиворечивая теория имет по крайней мере одну дополнительную аксиому к уже имеющимся.

Какой делаем вывод?
1) Непротиворечивая теория имет бесконечное число аксиом.
2) Это невозможно, поэтому любая теория внутренне противоречива.
3) Значит не верна (внутренне противоречива) и теорема о неполноте Гёделя.
4) Не все теории внутренне противоречивы.

Если же теорему Гёделя надо понимать так:

Любая внутренне непротиворечивая теория имет по крайней мере одну дополнительную аксиому к уже имеющимся. При этом никто и никогда не сможет сформулировать эту аксиому.

То это значит:
1) любая теория не является доказанной, при условии что исходные аксиомы верны Богу.
2) Значит, не доказаны и теоремы о неполноте Курта Гёделя.

Вторая теорема о неполноте говорит нам, что

Нельзя доказать непротиворечивость непротиворечивой теории.

Это и понятно, ведь имем пункт 2 наверху: “любая теория внутренне противоречива. ”

Answer 1

Теорема доказывает, что внутри любой непротиворечивой теории существует утверждение, которое средствами этой теории не может быть ни доказано, ни опровергнуто.
Хорошо, тогда примем такое утверждение за аксиому. Но фокус в том, что в получившейся НОВОЙ теории появится НОВОЕ утверждение такого же рода.

Answer 2

вы забыли, что теория у Геделя - не любая, а сответствующая некотормм условиям, например, содержащая бесконечное число объектов.

"Это невозможно, поэтому любая теория внутренне противоречива. " - с какого это перепуга? Самый просто пример - булева алгебра. аксиоматическая и непротиворечивая.

Дальше ваш пост не имет смысла. Почему это никто не сможет сформулировать дополнительную аксиому? Вобще-то у нас есть прекрасный пример: евклидова геометрия без 5-го постулата и дополнительная аксиома - 5-й постулат.

По Гёделя часто придумывают какую-то ерунду. А суть проста: аксиом и теорем у нас только счетное количество, а правильных утверждений - континум. Значит есть утверждения, которые верны, но отсутствуют в системе аксиом.