Найти точку, симметричную точке A (3;5;2) относительно плоскости, проходящей через точки B (4;0;0) C (0;2;0) D (0;1;2)

Answer 1

BC = (-4;2;0)
BD = (-4;1;2)

Найдём нормаль к указанной плоскости (вектор перпендикулярный данным) . В этом нам поможет векторное умножение BC x BD

i j k
-4 2 0
-4 1 2

i* (4 - 0) - j* (-8 - 0) + k* (-4 + 8) = 4i + 8j + 4k = (4;8;4)

тогда перпендикуляр, опущенный к плоскости и проходящий через точку A будет задан равенством
 (x - 3) /4 = (y - 5) /8 = (z - 2) /4 ИЛИ
 (x - 3) = (y - 5) /2 = (z - 2)

Теперь нужно найти точку, в которой этот перпендикуляр пересекает плоскость. Для этого завершим восстановление уравнения плоскости
4x + 8y + 4z + K = 0 / что бы найти K подставим вместо неизвестных кординаты точки B
4*4 + 8*0 + 4*0 + K = 0
K = -16
4x + 8y + 4z - 16 = 0 ИЛИ
x + 2y + z - 4 = 0

Теперь найти точку пересечения не составит труда, выразив y и z через x из уравнения вектора, и подставив их в уравнение плоскости:
y = 2x - 6 + 5 = 2x - 1
z = x - 3 + 2 = x - 1

x + 2 (2x - 1) + (x - 1) - 4 = 0
x + 4x - 2 + x - 1 - 4 = 6x - 7 = 0
x = 7/6
y = 4/3
z = 1/6

для удобства введём точку O = (7/6; 4/3; 1/6)

симметричной точка будет тогда, когда будет лежать на том же расстоянии от точки O, что и точка A, только с другой стороны (со знаком минус)

M = (7/6 - (3 - 7/6) ; 4/3 - (5 - 4/3) ; 1/6 - (2 - 1/6) = (-2/3; -7/3; -5;3)

Это кординаты искомой точки. Может можно было и проще решить, но это первое, что в голову пришло.

В сети, кстати, сложно проверить результат решения таких задач, но надеюсь нигде не ошибся (по крайней мере плоскость и перпендикуляр к ней восстановил правильно, это проверить удалось . )