Как доказать, что сумма сходящейся и расходящейся последовательностей расходится?

Question

Дана сход. последовательность Xn и расход. последовательность Yn. Нужно доказать, что их сумма расходится.

Answer 1

можно просто по определению. сходящаяся с какого-то номера N1 будет отличаться от предела не боле, чем на заданное эпсилон, расходящаяся с какого-то номера N2 больше любого заране заданного числа. Задайте для расходящейся лимит на эпсилон больше, полУчите для N=max (N1, N2) выполнение условия расхождения

Answer 2

От противного.

Пусть сумма сходится.
Тогда Yn - разность двух последовательностей: (Xn + Yn) , которая сходится по допущению и Xn, которая сходится по условию. А разность двух сходящихся последовательностей тоже сходится. Выходит, что Yn сходится, тогда как по условию она расходится. Противоречие.

Значит, Xn + Yn расходится.