В чём отличие обозначения частной проиводной от обычной

Question

Для частной производной и оычной использую разные обозначения для обычной d а для частой круглую d но я не пойму зачем? в чем разница допустим df/dxdy и елси записать как частная тоесть тоже самое с круглыми не пойму ведь правило взятия производной одно и то же

Answer 1

Рассмотрим для примера лагранжиан - L (q (t) , q' (t) , t) . То есть, это функция которая зависит от кординат, скоростей и непосредственно времени, причем кординаты и скорости тоже зависят от времени. Тогда полная ("обычная") производная dL/dt = (DL/Dq) (DQ/Dt) + (DL/Dq') (Dq'/Dt) + DL/Dt, где D/Dt - частная производная по времени. Аналогично для скорости и кординаты.
То есть, с точки зрения физического смысла - частная производная по времени в точке - это линейная часть приращения функции по времени, при условии, что кординаты и скорости систем не изменятся. А если еще боле наглядно - представим, что у нас есть маятник (как в часах) , НО, сила притяжении земли будет все время меняться, при чем так, что это изменение не будет зависеть от кординаты и скорости маятника, а только времени. Тогда частная производная по времени нам даст возможность посмотреть на свойства системы, которые появляются только из-за изменения гравитационного потенциала.
И вобще, можно просто смотреть на это как на математическую строгость - все таки обычная производная и частная имеют принципиально разные определения и глупо было бы их обозначать одинаково.