Математика. Когда мы имем право так разложить экспоненту? e^ (-m) =1-m

Answer 1

В том случае, если величина m - весьма малое по модулю число. Тогда можно пренебречь членами второго и боле высокого порядка в разложении по формуле Тейлора. Погрешность вычислений при этом не превысит первого отброшенного члена, т. е. m^2/2.

При малых х (близких к нулю) , х^2 стремится к нулю значительно быстре, чем x, поэтому получается очень хорошая точность, достаточная для практических расчётов. Когда требуется выполнить приближённое вычисление, этой формулой можно неплохо пользоваться, так как она даёт очень хороший результат.

Например, при m = 0, 1 значение по приближённой формуле равно 1 - 0, 1 = 0, 9, а вычисление на калькуляторе даёт результат 0, 904837418. В этом случае погрешность равна 0, 004837418, т. е. не превышает первого отброшенного члена, равного 0, 1^2/2! = 0, 005. Всё хорошо сходится.

Другой случай, когда возможно воспользоваться такой заменой - при вычислении пределов, когда мы функцию заменяем на эквивалентную ей. Например, если вычислить предел (e^ (-m) - 1) / sin (m) при условии, что m стремится к 0, то получим с одной стороны неопределённость 0/0, а с другой мы можем заменить e^ (-m) - 1 на (-m) , т. е. на эквивалентную функцию. Потом заменить знаменатель. И получим ответ: предел равен -1. Здесь мы тоже как бы заменили e^ (-m) на 1 - m.