слова консервировать консервативный и консерватория являются этимологически родственными?

Answer 1

слова консервировать консервативный и консерватория являются этимологически родственными?

Да, в основе всех этих слов лежит латинское слово conservatio = сохранение: продуктов (консервы) ,
старых порядков, убеждений (консервативный) .
И, как ни странно, корень сохранять лежит и в названии консерватории.
Первоначально в Италии так назывались приюты для сирот и беспризорных детей, где их обучали грамоте, каким-то ремеслам, пению.

Answer 2

Троюродными.
Оба происходят от латинского conservare (сберегать; сохранять) .
Консервы - производное от французского conserve, которое напрямую происходит от латинского слова.

Консерватория - производное от итальянского conservatorio (приют для сирот и беспризорных, где обучали ремеслам. В том числе и музыке) .
Это итальянское слово тоже произошло от того же латинского предка - conservare.
Сейчас это слово используется в качестве названия высше музыкальное
 учебное заведение.