Почему квадратный корень используется так часто в формулах . Что в нём такого ?

Answer 1

Ничего особенного, это просто арифметическая операция.
Всё равно что спросить: почему в формулах так часто используется сложение и умножение.
Одна из наиболе наглядных областей применения квадратного корня - теорема Пифагора, связанная с метрическим свойством пространства. Очень красивая между прочим, хотя и на первый взгляд неочевидная.
Другой пример - везде, где используется умножение некоторой величины саму на себя (например в формуле для пути при свободном падении) , есть применение и квадратного корня. А это уже - следствия законов природы, описанные математически красиво, с использованием квадратного корня.