Объясните пожалуйста нахождение площади криволинейной трапеции

Question

Не нужна копипаста из Инета. Всё, что я находил теряет смысл при резком перепрыгивании от S (x) = дx (f (a) +f (a+дx) +. +f (a+n*дx)
сразу к пределам.
Поясните пожалуйста!

Answer 1

Если функция интегрируема, то, не мудрствуя, пользуюсь формулой Ньютона - Лейбница; если нет - приближенной формулой Симпсона - облюбовал её ещё со студенческих лет, работает отлично.

Answer 2

Не теряет. То, что написано у Вас в вопросе - это интегральная сумма - приближённое значение криволинейной трапеции, которое становится тем боле точным, чем меньше диаметр разбиения (длина самого большого отрезка, на которые мы разбиваем интервал) . Если он уменьшается, стремясь к нулю, то остальные отрезки тоже туда стремятся.

Если переходить к пределу, то действительно получается неопределённость типа ноль помножить на бесконечность. Но она раскрывается, и в пределе получается конкретное конечное число. Диаметр разбиения уменьшается, а число отрезков увеличивается, но при этом они связаны так, что интегральная сумма при этом резко не прыгает, а плавно меняется, устаканиваясь к какому-то конкретному значению, которое и принимается за площадь криволинейной трапеции и за определённый интеграл.

В определении определённого интеграла сказано, что он определяется, если предел интегральных сумм существует, конечен и не зависит от разбиения. Для непрерывной на отрезке функции доказано, что это действительно так. И это наглядно иллюстрируется фигурой, имеющую конкретную площадь - криволинейной трапецией.

Вот простой пример, показывающий отсутствие потери смысла при переходе к пределу. Если возьмём, скажем функцию kx * (1/x) и устремим её к нулю, то в пределе получим с одной стороны неопределённость 0*бесконечность. Может показаться, что каждый множитель при этом разбегается по отдельности. Но с другой стороны они связаны так, что эта неопределённость раскрывается и в пределе мы всё же получим конечное число k, а не нечто, что лишено смысла.

Для определения площади криволинейной трапеции обычно пользуются формулой Ньютона-Лейбница, которая доказана, опираясь на определение определённого интеграла. Можно, конечно, ради упражнений, попробовать искать площадь непосредственно по определению определённого интеграла, но это будет уже фактически повторением того, что ещё за сотни лет до нас было уже выведено и доказано. И если что-то где-то не выходит, значит, в расчётах допущена ошибка. Готовую формулу можно использовать для проверки правильности ответа.