Как найти производную 1/квадратный корень из Х, с помощью предельного отношения?

Question

Просто интерестно, целый день пытаюсь а не выходит.

Answer 1

Если напрямую не выходит, можно использовать обходные методы. При работе с корнями часто выручает метод домножения и деления на сопряжённое выражение. Попробуем.

Рассмотрим приращение dx = x - x0, где dx - это дельта х.
Тогда дельта f равно df = 1/sqrt (x0 + dx) - 1/sqrt (x0) .
Приведём к общему знаменателю, для чего первую дробь домножим и разделим на sqrt (x0) , а вторую - на sqrt (x0 + dx) :

 (sqrt (x0) - sqrt (x0 + dx) / (sqrt (x0) *sqrt (x0 + dx)

Домножим и разделим на сопряжённое числителю выражение sqrt (x0) + sqrt (x0 + dx) . В числителе будет разность квадратов корней, т. е. самих подкоренных выражений x0 - (x0 + dx) = -dx

В знаменателе будет sqrt (x0) *sqrt (x0 + dx) * (sqrt (x0) + sqrt (x0 + dx) .

Если df поделить на dx, то dx сократится, и в числителе останется -1. Знаменатель будет прежним.

При переходе к пределу, когда dx стремится к нулю, знаменатель стремится к sqrt (x0) *sqrt (x0) * (sqrt (x0) +sqrt (x0) = x0*2sqrt (x0) .

Поэтому производная 1/sqrt (x) равна -1 / 2* (x*sqrt (x) .

Проверяем по таблице производных:

1/sqrt (x) = x^ (-1/2)

Производная равна (-1/2) x^ (-3/2) = -1 / 2x^ (3/2) = -1 / 2* (x*sqrt (x) - верно.