Почему при переводе из 10-й системы счисления в другую надо делить на основание этой системы? Не могу интуитивно понять

Question

и осознать. При переводе из других систем счисления в десятичную надо умножать каждое число на основание системы возведенное в степень, тут понятно почему именно так.

Answer 1

Вывод сответствующего правила основан на том, что в системе счисления с основанием n используется n цифр (от 0 до n - 1) . При делении числа на n также может быть любой из n остатков от деления - от 0 до n - 1. Эти остатки, записанные в обратном порядке, и образуют цифры числа в новой системе счисления.

Пример. Представим, скажем, число 194, в пятеричной системе счисления. Общий алгоритм этого правила хорошо известен. Если его применить, то получится: 194:5 = 38 и остаток 4. 38:5 = 7 и остаток 3. 7:5 = 1 и остаток 2. Выписывая все остатки, начиная с частного, получим 1234.

Посмотрим на этот пример с другой стороны. 194 можно представить так: 194 = 190 + 4 = 38*5 + 4 = (35 + 3) *5 + 4 = (7*5 + 3) *5 + 4 = (5 + 2) *5 + 3) *5 + 4 = (1*5 + 2) *5 + 3) *5 + 4) . Каждый раз число представляли в виде суммы числа, делящегося на 5, и остатка от деления на 5. Раскроем скобки:

 (1*5 + 2) *5 + 3) *5 + 4) = (1*5*5 + 2*5 + 3) *5 + 4 = 1*5*5*5 + 2*5*5 + 3*5 + 4 = 1*5^3 + 2*5^2 + 3*5^1 + 4*5^0.

Как видим, получили правило перевода из пятеричной системы счисления в десятичную на этом конкретном примере. Цифры числа в пятеричной системе счисления превратились в остатки от деления на 5 промежуточных частных, начиная с исходного числа 194. Последовательное деление на основание системы как бы обратно операции возведения основания системы в степень разряда, а остатки образуют цифры, которые умножаются на последовательные степени основания системы.