Почему пишется богАдельня. разве здесь не два корня, а О-соединительная гласная?

Answer 1

Представьте себе - один. "Дельня" тут не от "дело", а от "деля", или, что то же самое, "для".
И это не единственный случай. "Парапсихология", "метафизика" - тоже выглядят как сложное слово, но на самом деле греческое "пара", "мета" - предлог, а не существительное.

Answer 2

богадельня
 
"дом призрения бедных", производное от цслав. бога для "бога ради". Ср. др. -русск. богадльныи "pro Deo institutus vel curatus, основанный в религиозно-благотворительных целях"; см. Срезн. I, 125 и сл. Ср. сербохорв. богарадити "просить милостыню", от бога ради; см. Ягич, AfslPh 30, 458 и сл.