А есть такая функция?

Question

Чтобы при умножении некого числа на эту функцию, функция бы осталась неизменной. Прост очень нужно.

Answer 1

Подходит только тождественный 0, а также любая функция, равная 0 во всей её ОДЗ. (т. е. в любой точке функция либо равна 0, либо не определена) . Тогда множитель - любое число. Либо любая функция и тогда множитель равен 1.

Других таких функции и множителя не существует.

Доказательство проще простого. От обратного. Пусть такая функция f (x) существует.

Дано: f (x) *k = f (x) , где k - некоторое число, не равное 1. Найти f (x) . При том, что в её ОДЗ есть хотя бы одна точка x0, такая, что f (x0) не равно 0.

Перенесём правую часть налево, раскроем скобки:

f (x) * (k - 1) = 0.

Отсюда либо k = 1, что невозможно, т. к. такой случай мы исключили, либо f (x) = 0 всюду, в её ОДЗ, что тоже неверно по условию. Противоречие.