Question

Может ли ф-я иметь производную какого-то порядка =0, а боле старшего <>0? Например, первая производная =0, вторая =7. И если нет, откуда это следует?

Answer 1

Если функция имет производную в точке, равную нулю, то она запросто может иметь в этой же точке вторую производную, не равную нулю, например, функция у = х^2 имет в нуле производную, равную 0, а вторую производную, равную 2.
А если производная функции равна нулю на отрезке, то эта производная, как сама функция, постоянна на отрезке. А постоянная на отрезке функция имет производную, внутри этого отрезка, равную нулю. То есть, и вторая производная функции равна нулю в этом случае.
Иными словами, пусть функция постоянна на некотором отрезке. Тогда во всех точках внутри этого отрезка производная функции равна 0, т. е. тоже постоянна. Следовательно, производная от этой производной, как постоянной функции (вторая производная) также равна нулю во всех точках внутри отрезка.
А если боле младшего порядка - то тогда такое тоже может быть. Пример, у = 7х - первая производная всюду равна 7, а вторая - всюду равна 0.